Nacido en Chiapa de Corzo, Chiapas, Antonio Avendaño recibió sus primeras lecciones musicales por parte de su padre, el maestro Wulfrano Avendaño, quien tuvo una influencia decisiva en el inicio de su carrera musical. En 1997 llegó a la Ciudad de México e ingreso al Conservatorio Nacional de Música, donde estudió el contrabajo con el maestro James Pearsall Tranks, integrándose posteriormente a la Orquesta Sinfónica del Conservatorio Nacional de Música.

En 1980 ingresó a la Orquesta Mexicana de la  Juventud y en 1983 a la Orquesta Sinfónica del Estado de México, donde cuatro años después alcanzó el puesto de contrabajo principal. Como integrante de la Orquesta del Estado de México frecuentó la Escuela Vida y Movimiento del Centro Cultural Ollin Yoliztli, donde estudió con el Nicola Popov. Avendaño Interrumpió su participación con la Orquesta Sinfónica del Estado de México para cumplir un contrato con la Austin Symphony (Texas) durante un corto periodo. Ha actuado como solista de la Orquesta Sinfónica del Estado de México interpretando los conciertos para contrabajo de Karlvon Dittersdorf y Serge Koussevitzky, y con la Orquesta Ensamble de Toluca tocó el Concierto de Domenico Dragonetti. Recientemente actuó como solista con la Orquesta de Cámara de la Ciudad de Toluca. Ha sido invitado por diferentes orquestas de la Ciudad de México, así como también por la Orquesta Sinfónica de Guanajuato, siendo contrabajo principal durante la gira que esta orquesta realizó en diferentes ciudades de China.

Antonio Avendaño actualmente es contrabajo principal de la Orquesta del Estado de México, con quienes ha realizado diferentes giras internacionales, viajando a Alemania, España, Francia, Polonia, China y Estados Unidos.